Na današnji dan umro Rene Dekart – filozof, matematičar i osnivač analitičke geometrije

Rene Dekart (franc. René Descartes) rođen je 31. marta 1596. godine u Touraineu, Francuska, a umro u Stockholmu, 11. februara 1650. godine. Francuski filozof, fizičar, matematičar i utemeljitelj analitičke geometrije. Smatra se prvim modernim filozofom. Najpoznatija i najznamenitija tvrdnja mu je “Mislim, dakle postojim”.

Doprinos u matematici

Descartes je bio začetnik moderne matematike i analitičke geometrije. Njegov doprinos matematici vidi se u:

• upotrebi pravokutnog koordinatnog sustava,
• uvođenju pojma promjenljive veličine (varijable),
• svođenju geometrijskih problema na algebarske i osnivanju analitičke geometrije,
• pravci i krivulje dobivaju algebarske izraze i tako se ispituju
• predodžba o realnom broju mu je slična današnjoj,
• među prvima je uočio da vrijedi osnovni teorem algebre,
• u djelima koristi terminologiju sličnu današnjoj,
• znao je za Eulerovu formulu,
• shvaća funkcijsku vezu,
• algebarska krivulja trećeg stupnja nosi ime Descartesov list.

 

Pravokutni koordinatni sustav

Postavimo međusobno okomito dva brojevna pravca, x i y, tako da imaju zajedničko ishodište O. Na brojevnom pravcu x pozitivni brojevi su s desne strane od ishodišta, a na brojevnom pravcu y pozitivni su brojevi smješteni iznad ishodišta, što je na slici označeno strelicama. Pravce x i y zovemo koordinatnim osima. Pravac x je os apscisa, a pravac y os ordinata. Na ovaj je način određen sustav koji nazivamo pravokutni koordinatni sustav ili Kartezijev sustav (prema Descartesu, lat. Renatus Cartesius, koji ga je prvi počeo upotrebljavati). Za određivanje položaja točke u tako određenoj koordinatnoj ravnini potrebno je znati njene dvije koordinate, apscisu i ordinatu.

 

Osnivanje analitičke geometrije

U razmatranju Papusova neodređenog problema u djelu “Geometrija”, Descartes čini novi odlučni korak. On je utvrdio da taj problem ima beskonačno mnogo rješenja koja za beskonačno mnogo različitih vrijednosti x rješavanjem jednadžbe njima pridružuju beskonačno mnogo vrijednosti y. Tako dobiven skup različitih točaka čini krivulju (čunjosječnicu) u ravnini. Na taj način on je utvrdio vezu između međusobno zavisnih veličina x i y (početak shvaćanja funkcijske veze, koja je u općem smislu shvaćena tek u 18. stoljeću), te vezu algebarske jednadžbe i čunjosječnice. To su bili bitni elementi iz kojih se razvila posebna matematička disciplina – analitička geometrija.

 

Terminologija

U svojim djelima se služio terminologijom koja se ne razlikuje puno od današnje. Tako koristi oznake:

• za varijable: x, y, z, …
• za konstante: a, b, c, …
• potencije: x3, x5, …

 

Osnovni stavak algebre

Osnovni stavak algebre, kojeg je prvi dokazao Gauss, glasi: Svaki polinom stupnja n ≥ 1 (s realnim ili kompleksnim koeficijentima) ima nultočku u skupu kompleksnih brojeva. To također znači da jednadžba stupnja n “općenito” ima n rješenja, bilo iz skupa realnih ili kompleksnih brojeva, a ponekad je neko rješenje i višestruko. Osnovni stavak algebre ima izravnu vezu s rastavom polinoma na proste faktore jer vrijedi: Svaki se polinom stupnja n ≥ 1 može faktorizirati na sljedeći način P = a (z – z1) (z – z2) … (z – zn), gdje su z1, z2, …, zn nultočke polinoma P(z).

 

Eulerova formula

U slučaju konveksnog poliedra vrijedi formula V – B + S = 2, gdje je V broj vrhova, B broj bridova, a S broj strana. Npr. za kocku se dobiva jednakost 8 – 12 + 6 = 2, a za četverostranu piramidu 5 – 8 + 5 = 2. Smatra se da je tim teoremom započela teorija grafova. Za nju je znao još Descartes 1620.g., ali ju je dokazao tek Euler 1758.g.

 

Descartesov list

Descartesov list je algebarska krivulja trećeg stupnja jednadžbe: x3 + y3 + axy = 0. Asimptota te krivulje je pravac x + y + a = 0. Descartes ju je proučavao 1638.g., ali je pronašao njen točan oblik samo u 1. kvadrantu te mislio da se on ponavlja i u ostala tri.

 

Doprinos u fizici

I u fizici je Descartes postavio neka nova rješenja tadašnjih problema, a većinu je iznio u svom djelu “Prirodna filozofija” (1644.). Najviše se bavio mehanikom i optikom, ali je u tom djelu iznio prvu cjelovitu filozofiju koja se oslanja na heliocentrički sustav, što je značilo znakovit odmak od do tada prevladavajuće peripatetičke filozofije s geocentričkim sustavom. No, uskoro je potisnuta zbog sve većeg broja dokaza u korist Newtonove prirodne filozofije. Ipak, Descartes je prvi:

• uveo pojam količine gibanja i iznio zakon o njegovu očuvanju
• s Nizozemcem Snelliusom je otkrio zakon o lomu svjetlosti
• proučavanjem loma svjetlosti unutar kapljice vode protumačio nastanak duge (1649.)

 

Zakon o količini gibanja

Iako je Galileo Galilej bio blizu načela ustrajnosti u pravocrtnom gibanju, Descartes je bio jedan od prvih koji je jasnije formulirao to načelo u svoja dva zakona o gibanju:

Tijelo ne mijenja svoje stanje gibanja (ili mirovanja) sve dok ono ne sretne drugo tijelo; jednom u gibanju, sva se tijela nastavljaju gibati.

Svi dijelovi tvari teže gibanju duž pravca sve dok ne sretnu druge dijelove tvari.Osim toga, smatrao je da je gibanje neuništivo i da ga ima koliko ga je bilo i u trenutku stvaranja svijeta. Pod izrazom očuvanje gibanja on smatra današnju količinu gibanja i kaže: “Ako se dio tvari giba dva puta brže od drugoga dijela, a taj drugi dio tvari je dva puta veći od prvoga dijela, onda moramo držati da ima isto toliko gibanja u prvom koliko i u drugom dijelu”. Formula za količinu gibanja je: p = m v.

 

Teorija eterskih vrtloga

Teorija eterskih vrtologa je, uz zakon o očuvanju količine gibanja, temeljno kinematičko načelo Descartesove fizike. Tako je prema njegovoj teoriji početna tvar bila nepokretna dok Stvoritelj u nju nije uveo gibanje. Tada je svaka čestica dobila rotaciju oko svoje osi, a skup velikog broja čestica dobiva rotaciju oko neke zamišljene osi. On tako sasvim općenito opisuje vrtloge čestica kao zvjezdanih sustava s planetima i njihovim satelitima, ukazujući, poput Giordana Bruna, da je Sunčev sustav samo jedan od mnogobrojnih u svemiru.

 

Lom svjetlosti

Descartes je s W. Snelliusom prvi formulirao zakon o lomu svjetlosti koji se odnosi na dobro poznati fenomen lomljenja svjetlosti na granici dvaju sredstava. Zakon loma svjetlosti, u fizici poznat i kao Snellov zakon, glasi: Svjetlost koja pada na granicu dvaju sredstava indeksa loma n1 i n2 prijelazom iz jednog u drugo sredstvo lomi se tako da:

• upadna zraka, okomica na granicu sredstava i lomljena zraka leže u istoj ravnini
• kut loma i kut upada zadovoljavaju tzv. Snellov zakon: n1 sin(θ1) = n2 sin(θ2).
• Indeks loma u nekom sredstvu je omjer brzine svjetlosti u vakuumu (najveća moguća brzina) i brzine svjetlosti u tom sredstvu. Optički gušće sredstvo je ono koje ima veći apsolutni indeks loma, a ono čiji je indeks loma manji zove se optički rjeđe sredstvo.

 

Nastanak duge

Disperzija svjetlosti je pojava razlaganja višebojne svjetlosti na sastavne boje prolaskom kroz neko sredstvo. Dešava se zbog različite brzine svjetlosti unutar nekog sredstva ovisno o boji svjetlosti. Prolaskom bijele svjetlosti kroz takvo (disperzivno) sredstvo ona se razlaže na boje. Različiti indeks loma za različitu boju uvjetuje i različit kut loma za tu boju. Tako se shvatilo da je svjetlost višebojna. Najčešći primjer za disperziju je prolazak bijele svjetlosti kroz prizmu (čime se bavio Newton), ali lijep primjer nalazi se i u prirodi, u obliku duge. Tada se svjetlost razlaže na boje prolaskom kroz kapljicu vode. To je protumačio Descartes 1649.g.

 

Najvažnija djela

Discours de la méthode (1637.);

La dioptrique (1637.);

Les méthéores (1637.);

La géometrie (1637.);

Meditationes de prima philosophia (1641.);

Principia philosophiae (1644.).
Izvor: Wikipedija