Matematika i geometrija, V dio: Harmonija omogućava malim stvarima da postanu velike

Piše: Haris Gatalo – novovrijeme.ba

Ne ograničavajući Svoja stvorenja pravilima i princima koje je stvorio, Bog je dozvolio i postojanje mnogih izuzetaka. Iako su sva Njegova stvorenja savršena u kontekstu stvaralačkog umijeća, On je tu vrstu savršenosti u nekim slučajevima sakrio iza neobičnih (ali jednako savršenih) rješenja. Pogledamo li krupnu sliku očima “mudrosti”, vidjet ćemo kako bez ikakve smetnje u svijetu svih živih i neživih bića djeluje bogat sistem predstavljen neograničenim brojem formi. Rimski historičar Gaius Sallustus Crispus (86-35 pr.n.e.) ovu istinu objašnjava riječima: “Harmonija omogućuje malim stvarima da postanu velike. Da nema harmonije, velike bi se stvari urušile.”
Zajedništvo na svim nivoima

Unutar dinamičnog sistema procesa stvaranja koji je rezultirao milionima oblika egzistencije, spiralne strukture ili redovi uglavnom su raspoređeni među zasebnim strukturama. Ponekad je moguće pretpostaviti konačnu formu nekog bića gledajući pojedinačne dijelove od kojih je sastavljeno. Dobro, ali kako je moguće da ograničen broj principa i osnova, koji proizlaze iz ponavljajućih kombinacija geometrijskih oblika, rezultira neograničenim brojem vrsta? Kad pogledamo stvaralački proces, primijetit ćemo da se zajedničke forme i oblici na razini živih bića pojavljuju počevši od jednostavnih kombinacija atoma (molekule, organele, ćelije, tkiva i sl.), preko kompleksnijih struktura, pa sve do trenutne raznosvrsnosti koja nas okružuje. U tom smislu, slobodno se može reći da se određeni geometrijski oblici i matematički principi mogu uočiti kod svih stvorenja i na svim površinama stvarnosti.
Pažljivim posmatranjem vidjet ćemo da geometrijski dezeni i mjere postoje u formama kakve su društveno ponašanje, zvučne frekvencije, putanje nebeskih tijela, ćelijske strukture i ženske maternice. Kao što je slučaj s ljudskim licem, stvaralački pečat udaren obrisima mjere, oblika i simetrije, moguće je primijetiti u jednom cvijetu, na jednoj ptici, u jednom kukcu, odnosno u svemu stvorenom. Naravno, mjera i simetrija o kojoj govorimo nisu jasni na način kao da su, naprimjer, iscrtani uz pomoć linijara i šestara, nego predstavljaju malo složeniju formu. Ta vrsta oblikovanja prikriva stvaralačku preferenciju i volju jer je ona dio tajne iskušenja, ali istovremeno ukazuje i na neograničenost Božanskog znanja na nivou koordinata prostora i vremena. Uzmimo za primjer ljudsko lice. Iako svako ljudsko lice posjeduje zajedničku geometrijsku formu, gdje se tačno znaju pozicija i okvirne mjere čela, obrva, nosa, usta i očiju, činjenica da se sva ljudska lica međusobno razlikuju ukazuje na Stvoritelja koji poznaje svako biće i obilježava ga na poseban način. (Slika 1)

Jednostavni oblici na mozaicima

Mozaici su oblici koji se temelje na repeticiji i periodičnosti. Oni predstavljaju metodu formiranja osnovnih oblika i to na osnovu broja četiri i kvadrata. Jedan element se bez ikakve izmjene na sebi spaja sa drugim elementom, čime se udvostručava. Pravilni mozaici su krajnje simetrični. Postoje samo tri pravilna mozaika koja se dobijaju od jednakostranih trouglova (3), kvadrata (4) ili šestouglova (6). (Slika 2) Kod polupravilnih mozaika, kojih ima osam, koriste se različiti poligoni. Formulacije na vrhovima poligona međusobno su identične. Mozaici koji se redaju jedan pored drugog u manjoj su mjeri pravilni. Dok mozaici koji se formiraju “prostiranjem” u potpunosti dijele svoje stranice. (Slika 3)

Na koji način se dijele zajednički oblici?

Kada govorimo o tvorbi dezena koji nastaju ponavljanjem određenih geometrijskih oblika, postoji nekoliko osnovnih vrsta ovog načina tvorbe, a to su: rotacija, refleksija, prelaz i skala, kao i tvorbe koje predstavljaju kombinaciju navedenih način. Tako se naprimjer metoda “klizajuće refleksije” može opisati kao kombinacija klizanja i refleksije na jednoj ravni. Oblike je moguće vidjeti na jednoj ravni ili na predmetu u dvodimenzionalnoj ili trodimenzionalnoj formi.

Rotacija: Riječ je metodi gdje se djelići “rotiraju” oko stabilne tačke koja se naziva centrom rotacije. Ovdje su moguće sve vrste rotacije, međutim rotacije od 900 i 1.800 stepeni su najrasprostranjenije. Trodimenzionalne rotacije unutar određenog prostora, kreću se linijom koje omogućavaju rotaciju oko „kružnog toka“ i nastajanje spiralnih oblika. (Slika 4)

Refleksija: Radi se o simetrijama koje određene djeliće preobražavaju u njihove slike u ogledalu. Da bi dvodimenzionalna refleksija bila vidljiva, potrebna je jedna pravolinijska osa refleksije. Za trodimenzionalne refleksije neophodno je postojanje ravni. (Slika 5)

Skaliranje: Dijelovi koji posjeduju određeni geometrijski oblik smanjuju se ili uvećavaju, u pravilnom ili nepravilnom obliku, u svim smjerovima.
Podjela: Za ovu vrstu oblikovanja možemo reći da se radi o sporednom efektu nepravilnog skaliranja. (Slika 6)
Iteracija: Omogućuje nastanak dezena. Bilo koji geometrijski element se pokreće na određenoj površini i taj postupak se može ponavljati neograničen broj puta.

Simetrija i ravnoteža

Simetrija je riječ koja dolazi iz starogrčkog jezika i koja označava skladnost ili ispravan odnos. Njenu suprotnost čini asimetrija. Primjere simetrije susrećemo u svim sferama života. Anatomija živih bića, životinjski i biljni organizmi kao i mehanizmi rasta, samo su neki od primjera različitih vrsta simetrije. Čak i u životnim sferama kao što su uređivanje svakodnevnice, društvena dešavanja, oblici kretanja (roj pčela u zraku, jato ptica u zraku ili jato riba u moru), pa i ljudska komunikacija, simetrija predstavlja vrlo zastupljen oblik tvorbe. Ljudi najčešće osjećaju da im simetrija donosi odlučnost, red i savršenost u kontekstu doživljaja realnosti.Pitagora je broj deset doživljavao kao tačku upotpunjavanja i tačku novog početka. Broj deset nas odvodi do beskonačnosti određenih brojeva, jer kad se nađe pored drugog broja, svaka nula ga uvećava za deset puta i vodi putevima vječnosti. Tako se broj deset u islamu i nekim drugim religijama koristi kao simbol koji pripada beskonačnosti Iz tog razloga, kad se nađemo u okruženju gdje su zastupljene mjere i simetrije, osjećamo da se nalazimo pod kontrolom. Asimetrična okruženja dovode do osjećaja nelagode, zato se trudimo da u svim našim djelima bude zastupljen red i simetrija. Ljudska sklonost prema simetriji i uvjerenje da nam simetrija donosi red i ravnotežu, kao da objašnjavaju ljudsku tendenciju da se unutar simbola, arhitekture i estetike vrlo često poseže za oblicima koji simboliziraju simetriju.
Oblici sačinjeni od dvije spirale koje se kreću u suprotnom smjeru vrlo se često mogu sresti u prirodi, posebno kod raznih vrsta cvjetova. Tipičan primjer toga je suncokret (Slika 7).

Fraktali

Fraktali su geometrijski objekti čija je fraktalna dimenzija strogo veća od topološke dimenzije. Drugim riječima, to su objekti koji daju jednaku razinu detalja neovisno o razlučivosti koju koristimo. Dakle, fraktale je moguće uvećavati beskonačno mnogo a da se pri svakom novom povećanju vide neki detalji koji prije povećanja nisu bili vidljivi, i da količina novih detalja uvijek bude otprilike jednaka. Oni su (barem približno) samoslični (sastoje se od umanjenih verzija samih sebe), ali isuviše nepravilni da bi se opisali jednostavnom geometrijom. Tako npr. dužina nije fraktal, iako je samoslična (sastoji se od beskonačno mnogo dužinâ, a sve su dužine slične). Laički rečeno, oni su “načičkani” do u beskonačnost.

Pojam “fraktalna geometrija” prvi put koristi francuski matematičar Benoit Mandelbort krajem 50-ih godina prošlog stoljeća u svom djelu “Fraktalna geometrija prirode”. Posmatrajući bića kakva su oblaci, planinski prevoji, karfiol, brokule i krošnje drveća, koji naizgled imaju neravnomjernu formu, Mandelbort je primijetio da svi oni imaju jednu zajedničku osobinu. Svi ovi oblici sačinjeni su od manjih djelića (fraktala) koji spajanjem sačinjavaju veće dijelove i sliče onim manjima od kojih su sačinjeni. Drugim riječima “dio sliči cjelini, a cjelina dijelu”. Tako naprimjer jedan jedan cvjetić brokule sliči cijelom plodu. Jedna mala stijena kao da je umanjena verzija čitave planine. Male grančice na jednom drvetu imaju građu koja liči čitavom drvetu. Što su forme bile nepravilnije, tragovi fraktalne geometrije bili su sve uočljiviji. Čitava struktura tih formi bila je sačinjena od jednačina koje se ponavljaju. Fraktali koji zadržavaju svoju formu na svakom novom nivou prihvataju se kao kompleksne forme beskonačnog stepena.
Rotirajuća simetrija

Kod rotirajuće simetrije postoji prijelaz oko same ose okretanja. Dok se jedan dio po rotacionoj osi okreće u drugom smjeru, on se istovremeno okreće po obrascu nepromjenjive brzine. Kombinacijom ova dva kretanja dolazi se do forme rotirajuće simetrije. Ako djelić zarotirate brzo a iteraciju usporite, ugao rotacije se približava nuli. A kad uradite suprotno, odnosno kad djelić zarotirate sporo, ubrzavajući iteraciju, ugao rotacije raste prema 90 stepeni.
Kochova krivulja

Kochova krivulja i Kochova pahuljica su neke od prvih opisanih fraktalnih krivulja. Predstavio ju je švedski matematičar Niels Fabian Helge von Koch 1904. godine. To je jedan od najpoznatijih fraktala koji se često koristi kao reprezentativni primjer. Razlika između krivulje i pahuljice je u tome što se kod krivulje počinje s dužinom, a kod pahuljice s jednakostraničnim trouglom.
Da bismo formirali Kochovu krivulju, krećemo od dužine (nulta iteracija) koju podijelimo na tri jednaka segmenta. Na srednji segment dodamo još dvije dužine jednakih dužina (1/3 dužine prvobitne dužine) tako da zajedno sa srednjim segmentom tvore jednakostranični trougao. Nakon toga uklonimo srednji segment. Sad imamo četiri dužine jednakih dužina i to nazivamo prvom iteracijom. Drugu iteraciju dobijemo tako da svaku od četiri dužine prve iteracije zamijenimo umanjenom verzijom cijele prve iteracije. Kochovom krivuljom nazivamo geometrijski oblik koji nastane kad broj iteracija teži nuli.

Jedna od najvažnijih osobina fraktala jeste da ponavljaju osnovni dezen koji ih sačinjava. Oblik cjelokupne forme sadržan je i u svim njegovim djelićima. Zumiranjem ili udaljavanjem od fraktala, spomenuti dezeni se neprekidno ponavljaju. Postoje i fraktali kod kojih se ova sličnost, nakon ponavljanja, ne može primijetiti na prvi pogled. U tim slučajevima, da bismo odredili koliko fraktal ima dimenzija matematičari posežu za računanjem statističkih ponavljanja. I dok su jednostavni fraktali jednodimenzionalni, kompleksni fraktali mogu imati dvije ili više dimenzija.

Kao zaključak može se reći da nijedno biće nije ograničeno samo jednim oblikom, planom ili motivom. Svako živo i neživo biće u sebi krije bezbroj vezova i motiva koji su utkani u njih. Fraktali su samo jedan segment nauke koji nam pomaže da u svemu stvorenom pronađemo stvaralačku mudrost, umijeće i moć.
Julijini skupovi i Mandelbortovi skupovi

Julijini skupovi dobili su ime po francuskom matematičaru Gastonu Juliji čiji je rad zahvaljujući Mandelbrotu populariziran tokom 80-ih godina. Ovi skupovi predstavljaju fraktale formirane kompleksnim brojevima. Skup na najvišem nivou jeste Mandelbortov skup. Mnogi će reći da se radi o najkompleksnijem matematičkom objektu koji se formira korištenjen nekoliko jednostavnih pravila. Zaista je čarobno pratiti linije granica fraktala i njihov rast. Rastom obima fraktala, njihova kompleksnost raste i pred nama se pojavljuju nevjerovatni oblici. Unutar jedne spirale pojavljuju se vodopadi novih spirala, poput vezova u vezovima, koji u sebi sadrže nove nevjerovatne vezove. Dakle, sićušne kopije Mandelbortovih skupova skrivene su jedne unutar drugih. (Slika 8)