U kratkoj priči predstavljamo vam jednog od najbriljantnijih umova čovječanstva, matematičara koji je postavio temelje moderne topologije, sudjelovao u izgradnji nekoliko matematičkih disciplina i po kome nosi ime dvoznamenkasti broj matematičkih koncepata
Nedjelja je, večer 25. siječnja 1942. Svijet je u plamenu Drugoga svjetskog rata, kojeg je zapalio nacistički režim tadašnje Njemačke. U svome domu u Bonnu jedan Jevrej, skupa sa svojom ženom i njezinom sestrom, razmišlja da li da dopusti da sutra bude deportiran u logor – mada je to mjesto imalo neki blaži naziv, ili da neki način uskrate nacistima to zadovoljstvo. Napisao je pismo svome prijatelju Wollsteinu u kojem mu navodi da dok on bude čitao te retke, njih troje su već „riješili svoj problem na drugi način“, moli ga da mu oprosti i zaželjava njemu i svim ostalim prijateljima da dožive neka bolja vremena. Taj drugi način bio je ispijanje otrova. Muž i žena preminuli su do jutra, a sestra nakon nekoliko dana kome.
Lik iz ove tužne priče, slične pričama miliona drugih žrtava holokausta, jest Felix Hausdorff, jedan od najbriljantnijih umova čovječanstva, matematičar koji je postavio temelje moderne topologije, sudjelovao u izgradnji nekoliko matematičkih disciplina i po kome nosi ime dvoznamenkasti broj važnih matematičkih koncepata.
Rođen je u Breslau u Prusiji, danas Vroclav u Poljskoj, 8. studenoga 1868, odakle mu se obitelj – a radilo se o dobrostojećoj familiji, što je činjenica koju je Felix iskoristio na pametan način – ubrzo seli u Leipzig. Iz mora biografskih činjenica, koje su lako dostupne, izdvajam samo neke.
Od rane mladosti pokazivao je veliko zanimanje za matematiku, glazbu i književnost, kasnije i filozofiju, ali se na kraju – na nagovor oca da odustane od glazbe, a svjedoci tvrde da mu je taj talent bio velik i svestran – odlučuje za studij matematike koji završava s doktorskom tezom 1891, a četiri godine kasnije habilitira. Kroz to vrijeme fokusiran je na primjenu matematike u astronomiji. Međutim, ubrzo se pored matematike okreće filozofiji i književnosti, prijateljuje s intelektualcima i umjetnicima, te u idućih nekoliko godina, koristeći pseudonim Paul Mongré, objavljuje dvije knjige iz filozofije, zbirku poema i satiričnu predstavu (veoma uspješnu u prvoj godini izvođenja). U to vrijeme ženi se Charlotteom Sarom Goldschmidt, drugim likom iz priče s početka s kojom je imao kćer Lenoru.
Kroz period bavljenja filozofijom doticao se i nekih filozofsko-matematičkih pitanja, što je utjecalo na promjenu njegove temeljne matematičke orijentacije, te prelazi s njezinih primjena (od „dosadnih“ izračunavanja do posmatranja fizikalnih procesa) u domen pitanja koja su u određenom smislu bliskija filozofiji. Nakon 1904. godine (nadam se da nastavak teksta neće obeshrabriti čitatelja) kreće raditi u oblasti po kojoj ga danas zna svaki student matematike, a to su teorija skupova i topologija. Zapravo, topologija je prije njega bila u povojima, on je taj koji joj je udahnuo život i osnovao (temeljni rad iz 1914. godine) ono što danas zovemo teorijsko-skupovnom ili općom topologijom. Razvio je koncept metričkog prostora – bez toga je stvarno nemoguće zamisliti iole ozbiljnu matematiku. (Bivši) studenti matematike sjetit će pogotovo pojma Hausdorffova prostora, onih divnih T2-prostora – kao što je na primjer realna prava s euklidskom topologijom – u kojima nema anomalija karakterističnih za T-ove ispod dvojke, kao na primjer… Znam iz iskustva, da bi bilo gubljenje vremena pokušati objašnjavati dalje, tako da to preskačemo za ovu prigodu.
Hausdorffu zahvaljujemo i mnoge fundamentalne koncepte iz teorije skupova, kao na primjer pojam parcijalno uređenog skupa. Nije to ništa strašno, uči se već na prvoj godini studija matematike. Kao i kardinalni i ordinalni brojevi (pitanje grubo rečeno broja elemenata i uređenja skupa) s kojima Hausdorff radi u prethodnom kontekstu i u pokušaju dokazivanja Cantorove hipoteze kontinuuma. Nije ju uspio dokazati (1963. je jedan drugi Jevrej, Paul Cohen, potomak poljskih doseljenika u Ameriku, dokazao da su ta hipoteza kao i aksiom izbora nezavisni od ostalih aksioma Zermelo-Fraenkel teorije skupova, za što je nagrađen Fieldsovom medaljom, najvećim priznanjem u svijetu matematike), ali je kroz taj rad Felix napravio veliki napredak i postavio njezinu generalizaciju.
Matematičari među vama zahvalit će se Hausdorffu za mnogobrojne doprinose u teoriji mjere, funkcionalnoj analizi… i da ne nabrajam dalje, zaustavit ću se na trenutak kod ovih kardinalnih brojeva i napraviti dulju ekskurziju u prirodu i društvo, jer mi se čini da bih mogao možda BHS jezikom pojasniti o čemu se tu radi. Pa da pokušam.
Sjetite se one stare priče kako su pastiri brojali ovce kad nisu znali brojati dalje od 10. (Nemojte misliti da su svi pastiri takvi, pisac ovih redaka ima stanovitih iskustava i na tom polju, pa bi demant bio lagan i učinkovit.) Svakoj ovci pridruže jedan kamenčić i stave u torbu; kad ih broje, kako koja ovca prolazi, tako kamenčić prebacuju u drugu torbu. Ako je ostala situacija zadnja ovca–zadnji kamenčić, to znači da je sve u redu, da ih ima točno koliko treba, niti se šta izgubilo niti „primiješalo“ iz tuđeg stada. Ono što su pastiri zapravo radili bilo je uspostavljanje bijekcije, injektivne i surjektivne funkcije, između skupa A kojeg čine ovce i skupa B kojeg čine kamenčići. Ako ta dva skupa imaju isti broj elemenata, ta bijekcija postoji; u suprotnom, ne postoji. Da razradimo taj koncept dalje, zapišimo na svaki od tih kamenčića jedan broj, od 1 do n, gdje je n broj kamenčića. Tako, pastiri su zapravo uspostavljali bijekciju između skupa ovaca i jednog početnog komada {1,2,…,n} skupa prirodnih brojeva {1,2,3,4,…}. Za sve takve skupove reći ćemo da su konačni i pod kardinalnošću tog skupa smatramo broj njegovih elemenata. Skup s više elemenata ima veću kardinalnost.
No, lako za konačne skupove, šta ako su skupovi beskonačni? Još kod Descartesa (prvog kod koga sam vidio da je posmatrao te probleme) pojavljuje se pitanje kojih brojeva ima „više“, svih prirodnih (to su ovi 1,2,3,4,…) ili parnih (to su ovi 2,4,6,8,…). Na prvu bi se skočilo i reklo da je „naravno“ više ovih prvih, ali čim malo pažljivije pogledate stvari postaju drukčije. I jednih i drugih ima beskonačno mnogo, tako da je pitanje kojih ima više desplasirano. Ali nije stvar samo u tome, nego: očito je da svakom parnom broju mogu pridružiti jedan i samo jedan prirodan broj, da mogu „brojati“ parne brojeve na isti način na koji je pastir brojao ovce, dakle da mogu uspostaviti bijekciju između skupa svih parnih brojeva i skupa prirodnih brojeva. To znači da ta dva skupa imaju istu kardinalnost što u nekom grubom smislu znači da zapravo imaju „isto“ elemenata. Pokaže se i da se skup svih svih cijelih brojeva {…,-2,-1,0,1,2,…} može izbrojati po pastirskom principu, da je izbrojiv, kao i skup racionalnih brojeva (to su svi razlomci cijelih brojeva), dakle da oni imaju istu kardinalnost kao i skup prirodnih brojeva. I taj njihov kardinalni broj označavamo sa א-nula– po prvom slovu hebrejske abecede, alef.
Međutim, skup svih realnih brojeva (to su svi za koje znate ako niste učinili matematiku, npr. 1,-5, 2.99, 9000, korijen iz 2, π) ne može se izbrojati, ne postoji bijekcija između njega i skupa prirodnih brojeva (za to su krivi ovi iracionalni brojevi, i to samo jedan „mali“ dio iracionalnih brojeva, ali o tom po tom), što znači da je njegova kardinalnost veća od ovih gore skupova, da njih u grubom opisu ima „više“. I tu kardinalnost označavamo sa c (kaokontinuum) ili sa א-jedan. Pitanje je, da li postoji neki skup, „igdje“, „ikakav“, koji bi imao „više“ elemenata od skupa prirodnih brojeva, a „manje“ elemenata od skupa realnih brojeva? Preciznije, konačno smo na slavnoj Cantorovoj hipotezi kontinuuma koja tvrdi da ne postoji skup čija bi kardinalnost bila veća od א-nula, a manja od c. I tu možemo završiti ovu ekskurziju.
Da vidimo što je dalje bilo u životu našeg junaka. Neke od stvari o kojima je govorio postale su jasne tek kasnije, primjerice u tadašnjoj terminologiji uveo je pojam univerzalnog svojstva za uređene strukture, što je pojam familijaran poznavateljima moderne algebarske topologije i teorije modela. Tijekom 1920-ih otvorio je put za razvoj harmonijske analize na topološkim grupama, a vjerovali ili ne čak je uveo jednu aksiomatsku osnovu teorije vjerojatnosti koja je anticipirala Kolmogorovljevu aksiomatizaciju iz 1933. godine.
Predavao je u Bonnu, gdje je umirovljen 1935. Ništa od ovoga nije bilo dovoljno da mu nacisti oproste njegovo porijeklo, i tako godinu za godinom dolazimo do onoga što se desilo kako je opisano na početku ovoga teksta. Radeći u svojim studentskim danima na Univerzitetu Sussex u Velikoj Britaniji zapažen seminarski rad o fraktalnim dimenzijama (od mnoštva ‘fraktalnih dimenzija’ Hausdorffova definicija je vjerojatno najstarija, matematički konvencionalna jer uključuju mjeru i s prednošću da je definirana na proizvoljnom skupu) dr. Vedad Pašić s Univerziteta u Tuzli napisao je – posvećujući taj rad Hausdorffu – kako ne može razumjeti „kako se jedan takav čovjek mogao smatrati pripadnikom ‘niže rase'“.
Moderna Njemačka potrudila se da se posthumno zahvali Hausdorffu za njegovo djelo. Između ostaloga, matematički centar i institut u Bonnu nose ime po njemu.
Franjo Šarčević, Prometej.ba
