logo
bios

Poincaréova pretpostavka

Objavljeno prije 1 sedmica . u sub, nov 9th, 2019
Ilustracije: E.C.Zeeman, An introduction to Topology

POINCARÉOVA PRETPOSTAVKA: Koji je oblik našeg svemira?

Što je zapravo dokazao Grigori Perelman, tko je bio Henri Poincaré, što tvrdi njegova pretpostavka i kakve to veze ima s oblikom svemira u kojem živimo?

Mnogi su čuli za rusko-židovskog matematičara Grigorija Perelmana koji je prije 15-ak godina dokazao slavnu Poincaréovu pretpostavku. Široj javnosti postao je poznat najviše po svom osebujnom stilu životu i činjenici da je odbio milijunsku nagradu. Izvrstan tekst o njemu na ovom portalu je u siječnju 2018. objavio Armin Harambašić. U ovom članku, koji je najvećim dijelom prijevod teksta autora Jørgena Veisdala, predstavljamo što je to Perelman dokazao, odgovarajući na pitanja: što je to topologija, tko je bio Poincaré, što tvrdi njegova pretpostavka i kakve to veze ima s oblikom svemira u kojem živimo? Vjerujemo u strpljivost pojedinih čitatelja, njihovu znatiželju i spremnost da pokušaju barem u grubim crtama razumjeti o čemu se tu radi.

Kao dodatak ovom uvodu, ističem svoj stav, koji se može obilno argumentirati, da je Henri Poincaré jedan od najvećih, ako ne i najveći, znanstvenik svih vremena. (F.Š.)

Krenimo lagano. Oblik Zemlje znamo. On je manje-više sferičan. Dalje, naša galaksija, Mliječni put. Pomalo iznenađujuće za Edwina Hubblea koji ju je otkrio, to je prečkasta spiralna galaksija, tj. galaksija u obliku diska sa spiralnim krakovima. Kakav je vidljivi svemir? Je li sferičan? Reklo bi se da jest, s obzirom da se širi i svjetlost je pomaknuta prema crvenom spektru što dalje gledamo. Što je sa globalnim svemirom, izvan našeg horizonta opažanja?

Odgovor je da ne znamo. Možemo pretpostavljati. Može biti konačan ili beskonačan, sa ili bez granice, sa ili bez krivine, jednostavno povezan poput sfere ili višestruko povezan poput gume od bicikla. Ono što znamo jest da izgleda da se širi. U što? To ne znamo. Ali možemo pretpostavljati.

Uvod

Veoma teško nam je naslutiti oblik svemira kakav je sad i kakav bi mogao biti u budućnosti. Einstein nam je donekle pomogao pokazujući da su materija i energija u interakciji s vremenom, čineći četverodimenzionalni fenomen. U ovoj interakciji prostorvrijeme može da se savine zbog prisustva mase/energije. Uzeto zajedno, onoliko koliko možemo reći, živimo u četverodimenzionalnom svemiru koji je podložan deformacijama poput istezanja, uvijanja i savijanja. Tu dolazimo do Poincaréa i do otkrića topologije.

Spustimo se na osnove. Svi znamo da je, neformalno govoreći, kružnica u ravni jednodimenzionalna granica dvodimenzionalnog diska. Pomaknemo li se za jednu dimenziju više, također intuitivno znamo da se dvodimenzionalna površina trodimenzionalne lopte zove sfera. Pomaknemo li se međutim za još jednu dimenziju više, naša intuicija podbacuje. Što je trodimenzionalni ekvivalent objekta koji se ulaže u četverodimenzionalni prostor? Pa, jednako je stvaran kao i prethodna dva – trodimenzionalna granica četverodimenzionalne lopte u četverodimenzionalnom euklidskom prostoru u matematici je poznata kao glomus ili 3-sfera. Rado bih vam ju vizualizirao kad bih mogao, ali ne mogu.

Na slici: 1-dimenzionalna sfera (lijevo), 2-dimenzionalna sfera (u sredini). S obzirom da 3-dimenzionalna sfera “živi” u 4-dimenzionalnom prostoru koji naša osjetila ne mogu vidjeti, ne možemo je nacrtati. Desno je projekcija 3-dimenzionalne sfere na 3-dimenzionalni prostor.

U matematici, ova tri objekta (krug, sfera i glomus) blisko su povezana i zovu se 1–, 2– i 3– sferama. Takve n-sfere su generalizacije obične sfere na prostore proizvoljne dimenzije. U topologiji, n-sfere tretiramo kao n-dimenzionalne mnogostrukosti, što su topološki prostori koji lokalno (u blizini svake tačke) nalikuju euklidskom (ravnom) prostoru.

Ilustracija uz objašnjenje pojma mnogostrukosti

Razmišljajući o tome što je mnogostrukost, autorica Sylvia Nasar u svojoj knjizi „Genijalni um“ dala je korisnu perspektivu:

Zamisli da si se smanjio na veličinu male točke i da sjediš na površini gume od bicikla. Pogledaš li oko sebe, činit će ti se da sjediš na ravnom krugu. Spusti se za jednu dimenziju i sjedni na krivu liniju. Dio krive linije oko tebe izgleda kao prava linija. Popneš li se na trodimenzionalnu mnogostrukost, koliko god bila ezoterična, neposredna okolina oko tebe izgledala bi kao unutrašnjost lopte. Drugim riječima, to kako objekat izgleda iz daljine može biti različito od toga kako ga vidi tvoje kratkovidno oko.

Prije topologije (1752-1895)

John Stillwell u svojoj predivnoj knjizi „Radovi iz topologije: Analysis Situs i njezinih pet nadopuna“ (2010) [radi se zapravo o prijevodu fundamentalnog rada Analysis Situs Henria Poincaréa i pet Poincaréovih nadopuna tog rada, s uvodom i napomenama prevoditelja, op. prev.] tvrdi, ne bez osnova, da je samo jedan (univerzalni) topološki koncept bio definiran prije Poincaréa. Danas taj koncept dobro znamo kao Eulerovu karakteristiku (χ), koja je izvorno data Eulerovom formulom za poliedre V–E+F=χ, gdje je V broj vrhova, E broj ivica i F broj strana. Eulerova karakteristika sfere, kao i konveksnih poliedara kakva su na primjer Platonova tijela, iznosi 2. U svojim istraživanjima topološke klasifikacije takvih površi, Möbius je 1863. pokazao da su sve zatvorene površi u trodimenzionalnom realnom prostoru klasificirane na osnovu svojih Eulerovih karakteristika.

Dvije poznate neorijentabilne površi Eulerove karakteristike χ=0. Lijevo: Möbiusova traka, nazvana po matematičaru Augustu Ferdinandu Möbiusu. Desno: Kleinova boca, nazvana po matematičaru Felixu Kleinu.

Stillwell (2010) također spominje relevantne doprinose ličnosti poput Gaussa (1827) i Boneta (1848) i njihovo otkriće prosječne zakrivljenosti glatkih površi, kao i Riemannovu studiju o algebarskim krivuljama (1851). Pored toga, spominje i relevantnost studije o „rupama, šiljcima i prolazima“ na površima u R3 (Cayley, 1859), dodajući da prije Enrica Bettija (1871) nisu napravljeni koraci prema izučavanju takvih koncepata u proizvoljnim dimenzijama.

Betti je definirano, u svim dimenzijama, ono što će kasnije ostati poznato kao Bettijevi brojevi. U algebarskoj topologiji, neformalno govoreći, k-ti Bettijev broj odnosi se na broj k-dimenzionalnih rupa na topološkoj površi, ili, drukčije rečeno, „maksimalan broj rezova koji se mogu napraviti, a da se površ ne podijeli u dva odvojena dijela“ (Gardner, 1984, ss. 9-10). Za 0-dimenzionalne, 1-dimenzionalne i 2-dimenzionalne skupove simplicijalnih kompleksa (skupove sastavljene od tačaka, dužina i trokutova), Bettijevi brojevi imaju sljedeće definicije:

  • P0 je broj povezanih komponenti,
  • P1 je broj jednodimenzionalnih ili „kružnih/cirkularnih“ rupa,
  • P2 je broj dvodimenzionalnih „šupljina“.

Torus, primjerice, ima Bettijeve brojeve P0=1, P1=2 i P2=1, jer je to povezana površ (jedna komponentna povezanosti) koja ima dvije cirkularne rupe koje povezuju i formiraju površ koja zatvara jednu šupljinu. Drugi Bettijev broj povezan je s pojmom roda površi – to je, neformalno rečeno, broj rupa koje ona ima, što je povezano i sa Eulerovom karakteristikom. Kao što je John Milnor napisao u službenoj formulaciji Poincaréove pretpostavke za Milenijumsku nagradu Matematičkog instituta Clay: „Topologija dvodimenzionalnih mnogostrukosti, ili sfera, dobro se razumjela u 19. stoljeću. (…) Svaka takva površ ima dobro definiran rod g≥ 0, koji može intuitivno da se opiše kao broj rupa.“

Milnor je taj neformalni uvod u mnogostrukosti i topologiju predstavio skicama triju figura roda 0, 1 i 2 (slika ispod).

Sfera (lijevo) je glatka površ roda 0, torus (u sredini) je roda 1, a dvostruki torus (desno) je roda 2.

Prema Milnoru i Stillwellu, jedini dobro definiran topološki koncept prije Poincaréa bila je teorija zatvorenih površi, tj. 2-mnogostrukosti. One imaju osobinu da su kompaktne i da nemaju granicu. Teorem o klasifikaciji zatvorenih površi tvrdi da je svaka povezana zatvorena površ homeomorfna (topološki ekvivalentna) jednom od članova sljedećih triju familija: 1) sfere; 2) povezane sume torusa roda većeg od 0; 3) povezane sume projektivnih ravnina. Milnor završava svoju diskusiju o tim (mnogo jednostavnijim površima) stavom: „Odgovarajuće pitanje u višim dimenzijama je mnogo teže.“

Henri Poincaré prva je osoba koja je pokušala provesti sličnu studiju sa trodimenzionalnim mnogostrukostima – s ciljem da se utvrdi kad su takva dva objekta međusobno homeomorfna.

Henri Poincaré (1854-1912)

Henri Poincaré rođen je 29. travnja 1854. u okolici Nancyja, u Francuskoj, od roditelja Leona Poincaréa i Eugénie Launois. Njegov otac bio je profesor medicine na Univerzitetu u Nancyju, a majka domaćica koja se brinula o Henriju i učila ga kod kuće kad je tokom djetinjstva obolio od difterije.

U dobi od osam godina krenuo je u gimnaziju, gdje je proveo devet godina. Prvi koji je prepoznao njegov talent bio je učitelj matematike koji ga je opisao kao „čudovište matematike“, a došle su i prve nagrade na natjecanjima najboljih učenika gimnazija iz cijele Francuske. Pored matematike, bio je izvrstan u pisanju sastava. 1871. završio je gimnaziju i pridružio se ocu na frontu Francusko-Pruskog rata, služeći u ambulantnom korpusu.

Nakon rata, 1873. upisao je fakultet na Politehničkoj školi u Parizu gdje je studirao matematiku kod znamenitog Charlesa Hermitea. Prvi rad, naslovljen „Nova demonstracija osobina indikatora površi“, objavio je s 22 godine. 1875. upisao je paralelno program rudarskog inženjerstva, diplomiravši 1879. sa stupnjem inženjera. Odmah je krenuo raditi kao inspektor u sektoru za rudarstvo. Paralelno je na Sorbonni pripremao znanstveni doktorat iz matematike na temu diferencijalnih jednadžbi. Disertacija je nosila naziv „O osobinama funkcija definiranih parcijalnim diferencijalnim jednadžbama“ i završena je 1879.

Iako je stekao doktorat u matematici, Poincaré je nastavio raditi kao rudarski inženjer, zadužen za razvoj sjevernih željeznica, od 1881. do 1885. U međuvremenu je također počeo podučavati matematiku na Sorbonni i nastavio provoditi istraživanja, razvijajući novu granu matematike nazvanu „kvalitativna analiza diferencijalnih jednadžbi“, koja objašnjava načine za analizu rješenja diferencijalnih jednadžbi bez njihovog egzaktnog rješavanja. Pored toga, i pored kasnijih radova iz topologije, tokom karijere Poincaré je također radio na analitičkim funkcijama više kompleksnih promjenjivih, Abelovim varijetetima, algebarskoj geometriji, hiperboličkoj geometriji, teoriji brojeva, problemu triju tijela u nebeskoj mehanici, Diofantovim jednadžbama, elektromagnetizmu, teoriji relativnosti, filozofiji i teoriji grupa, dobivši nadimak „posljednji univerzalist“.

Poincaréov rad na topologiji

Poincaré je tokom 1890-ih započeo raditi na onome što je postalo temelj topologije i algebarske topologije. 1895. objavljuje rad Analysis Situs, a kasnije pet njegovih nadopuna (1899, 1900, 1902a, 1902b, 1904). Pojam „Analysis Situs“ ili „geometrija pozicija“ inspiriran je Leibnizovom referencom na taj pojam u radovima iz perioda 1672-1676.

Poincare i naslovnica rada

Motivaciju za uspostavljanje nove grane matematike posvećene topologiji, ili „izučavanju geometrijskih objekata podvrgnutih deformacijama“, „gumenoj geometriji“, objasnio je u radu Analysis Situs (1895):

„Geometrija je umjetnost dobrog zaključivanja iz loše nacrtanih figura; međutim, te figure, ako nas ne žele prevariti, moraju zadovoljavati određene uvjete; proporcije se mogu uveliko izmijeniti, ali relativni položaji različitih dijelova ne smiju se rastrojiti.“

Taj iskaz veoma je blizak modernom određenju topologije:

„Topologija je izučavanje osobina geometrijskih objekata koje su očuvane pod neprekidnim deformacijama, poput istezanja, uvijanja, gužvanja i savijanja, ali bez kidanja i lijepljenja.“

O geometriji pozicija (1892)

U svom prvom radu, zapravo pismu, o topologiji, Poincaré je motivirao rad iz 1895, referirajući se na Bettijeve brojeve uvedene 20-ak godina ranije. Njegov argument, odnosno pitanje za čitatelje, bilo je da li su Bettijevi brojevi zapravo dovoljni za topološku klasifikaciju mnogostrukosti. Da pokaže zašto možda nisu, uveo je koncept fundamentalne grupe π1. Neformalno, fundamentalnu grupu možemo zamišljati na sljedeći način:

Krenimo s nekim prostorom, na primjer nekom površi, i nekom tačkom tog prostora, i sa svim petljama koje počinju i završavaju u toj tački – dakle, imamo puteve koji kreću iz te tačke, lutaju okolo i vraćaju se u početnu tačku. Dvije petlje mogu se kombinirati na očit način: prvo putuješ prvom petljom, pa ona drugom. Dvije petlje smatramo ekvivalentnim ako se jedna može transformirati u drugu bez prekidanja. Skup svih takvih petlji s opisanom metodom kombiniranja i rečenom ekvivalencijom jest fundamentalna grupa tog prostora.

Poincaré je zatim opisao familiju trodimenzionalnih mnogostrukosti i pokazao da neke od tih mnogostrukosti imaju iste Bettijeve brojeve, ali imaju različite fundamentalne grupe. Odatle je zaključio da ako je fundamentalna grupa topološki invarijantna (dakle, ako je to osobina koja ostaje sačuvana pri djelovanju homeomorfizama), onda Bettijevi brojevi sami ne mogu razlikovati trodimenzionalne mnogostrukosti jedne od drugih.

Analysis Situs (1895)

Kasnija Poincaréova pretpostavka (1904) zapravo nije postojala 1895. Poincaré je u tom momentu vjerojatno mislio da je očito da su sve jednostavno povezane n-dimenzionalne zatvorene mnogostrukosti homeomorfne n-sferi, tj. da sve takve mnogostrukosti čuvaju svoje topološke osobine ako ih deformiramo u oblik sfere dimenzije n. Uostalom, isti rezultat za 1-dimenzionalne i 2-dimenzionalne mnogostrukosti bio je poznat još od Riemannovog (1826-1866) vremena.

Analysis Situs nastavlja se na problem i zaključke iz 1892. godine nastojeći dati čvršće temelje od Bettijevih brojeva. Rad ide prema tom cilju kroz nekoliko puteva. Počinje s uvodom, kao što je često slučaj u istraživanju, gdje se opravdava zašto je rad koristan, tvrdeći da „Geometrija n dimenzija je stvarni objekt, danas više nitko u to ne sumnja. Figure u hiperprostoru mogu se definirati jednako precizno kao i one u običnom prostoru, i iako ih ne možemo predstaviti, možemo ih zamisliti i izučavati. Tako, ako mehanici dimenzija većih od tri možemo zamjeriti nedostatak objekata na koje se odnosi, to ne možemo reći za hipergeometriju.“

Među mnogih velikim otkrićima u Analysis Situs, Poincaré predstavlja osnove onoga što će se kasnije nazvati teorija homologije – to je način pridruživanja niza algebarskih struktura, na primjer grupa ili modula, drugim matematičkim strukturama poput topoloških prostora. Do toga je došao uspostavljanjem sustava za računanje Bettijevih brojeva, pretpostavljajući da se svaka mnogostrukost može rastaviti u ćelije koje su homeomorfne simpleksima (simpleksi su, u suštini, n-dimenzionalni tetraedri), iščitavajući odatle linearne jednadžbe koje je nazvao homologijama i računajući Bettijevi brojeve upotrebom linearne algebre. Riječima Scholza (1980): „Prva faza algebarske topologije, koju je inaugurirao Poincaré, karakterizirana je činjenicom da algebarske relacije i operacije imaju veze s topološkim objektima.“

Koristeći svoju novu teoriju homologije, Poincaré je zatim dao teorem o dualnosti za Bettijeve brojeve n-dimenzionalne mnogostrukosti, posmatraju dual dekompozicije mnogostrukosti u ćelije. Teorem o dualnosti tvrdi da su Bettijevi brojevi koji su jednako udaljeni od ‘krajeva’, tj. od najveće i najmanje dimenzije, jednaki. Primjerice, za 3-mnogostrukost je 2-dimenzionalni Bettijev broj jednak 1-dimenzionalnom Bettijevom broju.

Kasnije u istom radu Poincaré također daje generalizaciju Eulerove formule za poliedre na proizvoljne dimenzije, i povezuje sve to s teorijom homologije. Također daje nove primjere fundamentalnih grupa koji pokazuju da je fundamentalna grupa jača invarijanta od Bettijevih brojeva – identificirao je nasuprotne strane oktaedra s istim Bettijevim brojevima dobivši tako 3-sferu, što je promijenilo fundamentalnu grupu. Poenta tih otkrića jest da su za 0–, 1– i 2–dimenzionalne mnogostrukosti Bettijevi brojevi dovoljni da ih razlikuju jedne od drugih, ali da za trodimenzionalne mnogostrukosti postaje važna fundamentalna grupa. Koliko važna, Poincaré u tom momentu (1985) nije mogao odgovoriti.

S obzirom da je u Analysis Situs Poincaré osnovao teoriju homologije i konstruirao fundamentalnu grupu, taj rad i godina smatraju se nastankom topologije. Važnost teorije homologije jest u tome da ona otkriva da postoji algebarska struktura koja dovodi do Bettijevih brojeva (time i do Eulerove karakteristike). Otkriće fundamentalne grupe pokazuje ograničenje moći Bettijevih brojeva kao pokazatelja osobina mnogostrukosti.

Prva i druga nadopuna rada Analysis Situs (1899-1900)

Analysis Situs, iako briljantno inventivan rad, imao je određene konfuzije i greške. Nakon što je danski doktorski student Poul Heegard u tezi iz 1898. pokazao da je Poincaréova nova definicija Bettijevih brojeva u nesuglasju s njegovim teoremom o dualnosti, Poincaré je 1899. objavio prvu nadopunu rada Analysis Situs. Heegard je na jednom primjeru pokazao da je Poincaré propustio ubrojati efekte torzije, „uvijanja“. Poincaré je 1899. revidirao i ojačao teoriju homologije, dodavši Bettijevim brojevima i torzione brojeve.

U drugoj nadopuni (1900) Poincaré je završio rad tvrdnjom koja se efektno može izraziti na sljedeći način:

„Svaka trodimenzionalna mnogostrukost s trivijalnom homologijom je ekvivalentna trodimenzionalnoj sferi.“

To je prva, i netočna, Poincaréova pretpostavka o topološkim osobinama trodimenzionalnih tijela podvrgnutih deformacijama.

Treća i četvrta nadopuna rada Analysis Situs (1902)

Relevantnost treće i četvrte nadopune je u izučavanju snopova torusa, za koje se pokazaju da prirodno izrastaju iz izučavanja algebarskih krivulja.

Peta nadopuna rada Analysis Situs (1904)

Poincaré je 1904. objavio petu i posljednju nadopunu. Rad se bavi trodimenzionalnim mnogostrukostima (poput glomusa iz našeg uvoda). U njemu je Poincaré izučavao da li se 3-dimenzionalne mnogostrukosti mogu opisati istim razlikujućim svojstvom kao i 2-dimenzionalne mnogostrukosti, dakle time da se svaka jednostavna zatvorena krivulja na sferi možemo neprekidno deformirati u tačku bez napuštanja sfere.

U tom radu Poincaré izučava razlike između teorije homologije i mnogo bogatije teorije homotopije. Na posljednjim stranicama rada, Poincaréova istraživanja vode do novog otkrića, homološke sfere koja je kasnije nazvana po Poincaréu – to je 3-dimenzionalna mnogostrukost s istom homologijom kao 3-dimenzionalna sfera, ali s različitom fundamentalnom grupom. To je odmah opovrglo Poincaréovu početnu pretpostavku o vezi između 3-mnogostrukosti i 3-sfera iz 1902. To je još jednom pokazalo nadmoć njegove fundamentalne grupe nad homologijom za razlikovanje 3-mnogostrukosti.

Na kraju rada Poincaré iznosi sljedeću pretpostavku:

„Svaka jednostavno povezana, zatvorena 3-mnogostrukost, homeomorfna je 3-sferi.“

Drugim riječima i preciznije,

„Ako glatka kompaktna trodimenzionalna mnogostrukost M ima osobinu da se svaka jednostavna zatvorena krivulja unutar mnogostrukosti može neprekidno deformirati u tačku, da li slijedi da je M homeomorfna (topološki ekvivalentna) sferi dimenzije 3?“

Neformalno govoreći, ta pretpostavka tvrdi da ako se svaka petlja unutar mnogostrukosti može stegnuti u jednu tačku, onda ta mnogostrukost mora biti 3-sfera. S obzirom da nažalost ne možemo efektivno vizualizirati te trodimenzionalne mnogostrukosti [s obzirom da one „žive“ u četverodimenzionalnom prostoru koji je neuhvatljiv našim čulima, op. prev.], analogne 2-mnogostrukosti prikazane su na figurama ispod gdje su petlje obojene u plavo i zeleno.

Kao što možemo vidjeti, svaka petlja na sferi može se stegnuti i skinuti sa sfere pomičući je prema gore ili u stranu. Međutim, na torusu, premda se plava petlja može stegnuti i skinuti s njega, zelena petlja ne može bez kidanja petlje ili rezanja torusa. Dakle, torus nije homeomorfan sferi.

Sylvia Nasar u „Sudbini mnogostrukosti“ to opisuje ovako:

„Ako svežete čvor oko nogometne lopte, možete ga lako skinuti povlačeći ga duž površine lopte. Ali ako svežete čvor oko đevreka kroz njegovu rupu u sredini, onda ne možete skinuti čvor ukoliko ne razlomite đevrek.“

Implikacije Poincaréove pretpostavke

Kao što ste dosad vjerojatno već shvatili, veza između Poincaréove pretpostavke i oblika svemira je implicitna, ali i dalje važna i vidljiva. Jednostavno rečeno, ako je svemir jednostavno povezana zatvorena 3-mnogostrukost, on je homeomorfan sferi. To znači, ako on ima oblik 3-torusa, znamo da se nikada ne može prošiti u oblik 3-sfere, i obratno.

[Jedna od pretpostavki o obliku svemira jest da je on Poincaréova sfera, op.prev.]

Autor: Jørgen Veisdalmedium.com

S engleskog preveo: Franjo Šarčević, Prometej.ba

Napomena: Neke rečenice iz originalnog teksta su izostavljene rade bolje čitljivosti teksta. U originalnom tekstu postoje također određene sitne netočnosti i nepreciznosti. Neke od njih ispravljene su u ovom prevodu, a neke su ostavljene u korist bolje prohodnosti teksta.

Copyright 2016 Magazin Plus d.o.o. Sva prava zadržana.
Zabranjeno preuzimanje sadržaja bez dozvole izdavača.

Programiranje: Magazin plus
Na vrh